Posteado por: metododenewton | 4 abril, 2010

Metodo de Newton

MÉTODO DE NEWTON


HISTORIA

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De la realización del análisis por terminorum Infinitas numero aequationes (escrita en 1669 , publicado en 1711 por William Jones ) y en De fluxionum metodis et infinitarum serierum (escrita en 1671 , traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson ). Sin embargo, su descripción difiere sustancialmente de la descripción moderna dada arriba: Newton aplica el único método para polinomios. Él no computa las aproximaciones sucesivas x n, pero calcula una secuencia de polinomios y sólo al final, llega a una aproximación a la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y no se fija la conexión con el cálculo. Isaac Newton probablemente deriva su método de un método preciso, pero menos similar por François Viète .    La esencia de los métodos Viète puede encontrarse en la labor del Persa matemático Sharaf al-Din al-Tusi.

El método de Newton se publicó por primera vez en 1685 en un tratado de álgebra, tanto histórica y práctica por John Wallis . En 1690 , Joseph Raphson publicó una descripción simplificada en universalis aequationum Análisis. Raphson más vistos del método de Newton exclusivamente como un método algebraico y restringido su uso a los polinomios, pero él se describe el método en cuanto a las aproximaciones sucesivas x n en lugar de la secuencia más complicada de los polinomios utilizados por Newton. Por último, en 1740 , Thomas Simpson describe el método de Newton como un método iterativo para resolver ecuaciones no lineales generales utilizando el cálculo fluxional, esencialmente con la descripción anterior. En la misma publicación, Simpson también da a la generalización de los sistemas de dos ecuaciones y observa que el método de Newton se puede utilizar para resolver problemas de optimización mediante la creación del gradiente a cero.

Arthur Cayley en 1879 en El-Fourier imaginaria problema Newton fue el primero que se percató de las dificultades para generalizar el método de Newton a la raíces complejas de polinomios con grado mayor que 2 y complejas valores iniciales. Esto abrió el camino al estudio de la teoría de iteraciones de funciones racionales.

En análisis numérico , el método de Newton (también conocido como el-Raphson el método de Newton), el nombre de Isaac Newton y Raphson Joseph , es quizás la más conocida mejor método para encontrar mejores aproximaciones sucesivamente a los ceros (o raíces ) de un real con valores de función.

Diferencia

Este método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el método de diferencias divididas para aproximar f ‘(x). El método de Newton-Raphson asume que la función f(x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b].

¿QUÉ ES EL MÉTODO DE NEWTON ?

El Método numérico de Newton es una aplicación del cálculo diferencial que se utiliza para hallar los ceros de una función derivable de enésimo grado con la precisión deseada ya que es una extensión directa del método del mismo nombre para buscarceros de funciones de una variable. Los procedimientos para hallar las raíces o ceros de funciones lineales o cuadráticas a partir de los coeficientes de la ecuación son sencillos y exactos.

El método de Newton asume que la función f sea continuamente derivable y que se conoce la derivada de la función. Este método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que el método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el número de dígitos correctos se duplica en cada iteración. El método de Newton también es útil porque se generaliza para problemas de dimensiones más altas.

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

La idea es realizar el desarrollo de las series de Taylor de una función alrededor de una estimación de la raíz x0

Truncando la serie a primer orden e igualando f (x) = 0 se tiene.

Este Método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el Método de diferencias divididas para aproximar f `(x) . Este método es muy similar al método babilónico y se basa en una repetición, ó sea, se divide y saca promedio, se divide y saca promedio, etc. En este método la primera aproximación no es muy precisa. El Método de Newton-Raphson asume que la función f (x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f (x) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b].

La tangente en (x0, f (x0)) es una aproximación a la curva de f (x) cerca del punto (x0, f (x0)) .En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f (x) o denominada raíz de f(x).

Usando algunos conceptos básicos de cálculo, se tienen maneras de evaluar raíces de funciones complicadas numéricamente. Normalmente, se usa el método de Newton Raphson. Este proceso iterativo sigue una pauta fija para aproximar una raíz, considerado la función, su derivada, y un valor x inicial.

Usted puede recordar del álgebra que una raíz de una función es un cero de la función. Estosignifica que la raíz de una función, se calcula cuando la función se iguala a cero. Se puede encontrar las raíces de una función simple como f (x) = x2 − 4 simplemente colocando la función igual a cero, y resolviendo:

f (x) = x2 − 4 = 0 , de aquí se tiene que f (x) = (x + 2)(x − 2) = 0 , para concluir que la igualdad se cumple solo si x = 2 ó x = -2, que son consideradas como raíces de la ecuación.

OBTENCIÓN  DE LA  FORMULA


El Método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, de hecho, el Método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (xo, f (xo)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f (xo) . La nueva aproximación a la raíz, x1 , se obtiene de la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas.

La ecuación de la recta que pasa por el punto (xo, f (xo)) y de la pendiente f ‘(xo) es :

y- f (xo) = f ‘(xo)(x-xo) .

De donde, haciendo y=0 y despejando x se obtiene la ecuación de Newton- Raphson.

Xn+1 = Xn – f (Xn) / f ‘(xn)

Demostración: Sea 0 x la raíz supuesta inicial o valor inicial de las iteraciones y si se aplican funciones trigonométricas al ángulo α de la figura 4 se tiene que tan(α ) = f (xo) /(xo − x1) , a partir de esta fórmula se puede decir que: (x0 − x1) = f (x0 ) / tan(α ) . y despejando x1 se tendría la fórmula de Newton. La pendiente en  xo esta dada por tan(α ) = f ‘(xo) . Teniendo en cuenta lo anterior se tendría entonces que: x1 = x0 − f (xo) / f ‘(xo ) .

También se puede deducir de teniendo en cuenta que la ecuación de la línea tangente en xo esta dada por y- f (xo) = f ‘(xo)(x-xo)  . La primera aproximación x1 es

Obtenida como la raíz de (1). Así (x1,0) es un punto sobre la ecuación anterior.

Donde, Xn una valor para x conocido actualmente, f(Xn) representa el valor de la función evaluada en Xn , y  f’(Xn) es la derivada evaluada en Xn, Xn+1 representa el próximo valor para x que se está tratando de encontrar como raíz al aplicar el modelo. Esencialmente, f’(X0)  , la derivada representa  f(x)/dx , (dx = delta-x) ó dx = X1- X0 . Sin embargo, el término f (x) / f `(x) representa un valor de dx = Δx .

CONVERGENCIA


En general, la convergencia es cuadrática: el error es esencialmente cuadrado en cada paso (es decir, el número de dígitos exactos se duplica en cada paso). En primer lugar, el método de Newton requiere que la derivada se calcula directamente. (Si la derivada es aproximada por la pendiente de una recta que pasa por dos puntos de la función, el método de la secante resultados, lo que puede ser más eficiente en función de cómo se mide el esfuerzo computacional.) En segundo lugar, si el valor inicial es demasiado lejos de la verdad cero, el método de Newton puede dejar de converger. Debido a esto, las implementaciones más práctica del método de Newton poner límite al número de iteraciones y tal vez del tamaño de las iteraciones. En tercer lugar, si la raíz que se busca tiene multiplicidad mayor que uno, la velocidad de convergencia es meramente lineal (menor número de errores por un factor constante en cada etapa) a menos que se tomen medidas especiales.

CONDICIONES ESPECIALES DEL MÉTODO DE NEWTON


El método de newton no siempre trabaja. se encuentra con problemas en varias partes.

-Cuando se escoge un valor x inicial donde se tendría una “división por cero” lo cual es un error, y no podría proceder.

-Cuando usando un valor X inicial de los valores X convergen y hacen el delta-x la disminución hacia el cero (0)

-Dependiendo de la condiciones bajo las que se este intentando resolver la ecuación, algunas de las variables pueden estar cambiando. Así que, puede ser necesario usar derivadas parciales.


DESVENTAJAS


Aunque el método de newton en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades:

-En caso especial es las raices multiples.

-En algunos casos es posible que para raices simples se presenten dificultades por su lenta convergencia.

CONCLUSIÓN


El metodo de newton es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados. el método se emplea en la solución de problemas academicos y propios del mundo real

Primer Ejercicio :

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de comenzando con Xo= l y hasta que .

Solución:

En este caso, tenemos que

De aquí tenemos que:

Comenzamos con Xo= l y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz

Error aprox.
1
1.268941421 21.19%
1.309108403

3.06%

1.309799389

0.052%

Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma muy rápida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisión la rapidez ó lentitud del método en estudio.

Segundo Ejercicio:

Veremos a continuación un ejemplo del metódo de Newton Raphson, con la siguiente ecuación:

# FXn DFXn Nuevo Xm
1 18 4 -3.5
2

-30.375

37.75

-2.6953642384106
3 -6.2771541041392 22.794965133108 -2.419989651633
4 -0.59229583988115 18.569049742033 -2.3880927130115
5 -0.0073539466744812 18.108960417816 -2.3876866186524
6 -1.1814129692311E-6 18.103142166676 -2.3876865533923

Ha terminado de analizar el método de la Newton Rapshon, en este ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la última raiz(Xm): -2.3876865533923 con 6 iteracciones.

CÓDIGO EN MATLAB


Programa escrito en MatLab para hallar las raíces usando el metodo de NEWTON-RAPHSON

disp (‘NEWTON-RAPHSON’)

xo=input(‘Valor inicial =’);

n=input (‘numero de iteraciones=’);

salida=ones(n,4); % matiz de salida de datos

for i=1:n

x1=xo-[(exp(-xo)-xo)]/[(-exp(-xo)-1)];

vsal=[xo;x1];

er=[[abs((xo-x1)/xo)]]*100; % error relativo porcentual

ea=[[abs((x1-xo)/x1)]]*100; % error

xo=x1;

salida(i,1)=i;

salida(i,2)=x1;

salida(i,3)=er;

salida(i,4)=ea;

end

disp(‘ite raiz er ea’);

disp(num2str(salida));

VIDEOS

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